Question

已知函数f（x）（x∈R，且x＞0），对于定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且x＞1时，f（x）＞

Answer 1

（1）∵定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），

令x=y=1，

∴f（1）=2f（1），

∴f（1）=0；（2分）

证明：（2）任取0＜x₁＜x₂，则

x2

x1＞1，则题意得f（

x2

x1）＞0

又定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），∴f（xy）-f（y）=f（x），

∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1）＞0

∴f（x₂）＞f（x₁）

∴函数f（x）在其定义域内为增函数，由（1）和f（1）=0，

所以1为方程f（x）=0的一个实根，若还存在一个x₀，且x₀＞0，使得f（x₀）=0，

因为函数f（x）在其定义域内为增函数，必有x₀=1，故方程f（x）=0有且仅有一个实根；（8分）

（3）由（2）知函数f（x）在其定义域内为增函数

当x∈[1，+∞）时，不等式f（

x2+2x+a

x）＞0=f（1）恒成立，即

x2+2x+a

x＞1恒成立

即x²+2x+a＞x，即a＞-x²-x在x∈[1，+∞）时恒成立

∵-x²-x在x∈[1，+∞）时最大值为-2

∴a＞-2（14分）