设f(x)为定义域为R的函数,对任意x∈R,都满足f(x+1)=f(x-1) ,f(1-x)=f(1+x),且当x∈[0

1个回答

  • ∵对任意x∈R,都满足f(x+1)=f(x-1)

    ∴f(x)=f(x+2)即f(x)是以2为最小正周期的周期函数,周期可表示为2K,K∈Z

    ∵f(1-x)=f(1+x)∴f(x)关于X=1对称

    又当x∈[0,1]时,f(x)=x²-2x

    ∵f(x)=x²-2x关于X=1对称

    ∴x∈[1,2]时,f(x)=x²-2x,即是说当在函数的一个周期区间[0,2]上有

    f(x)=x²-2x=(x-1)²-1

    ∴可以通过平移f(x)=x²-2x在x∈[0,2]的图像得到其他周期区间上的图像

    向左平移2个单位得到在[-2,0]上的图像,其函数表达式为f(x)=(x-1+2)²-1=(x+1)²-1

    从函数图像上易得到f(x)在[-1,1]上关于Y轴对称,∴f(x)在[-1,1]上是偶函数

    最大值是0,最小值是-1,在[-1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减

    当X=0时,f(x)=0,∴零点是X=0