解题思路：对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，一个四边形既是菱形，又是矩形，则它是正方形．
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴该四边形是平行四边形，
又∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，
∴该四边形既是菱形，又是矩形，
∴该四边形是正方形．
故答案为正方形．
点评：
本题考点： 正方形的判定．
考点点评： 本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，方法有两种：
①先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等；
②先证明它是菱形，再证明它有一个角为直角．