Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，f′（x）是f（x）的导函数，若对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）-2

Answer 1

解题思路：由题意，可知f（x）-2^X是定值，令t=f（x）-2^X，得出f（x）=2^X+t，再由f（t）=2^t+t=3求出t的值，即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f′（x）-[4/x]=0的解所在的区间，即得正确选项．

由题意，可知f（x）-2^X是定值，不妨令t=f（x）-2^X，则f（x）=2^X+t

又f（t）=2^t+t=3，解得t=1

所以有f（x）=2^X+1

所以f′（x）=2^X•ln2，

令F（x）=f′（x）-[4/x]=2^X•ln2-[4/x]

可得F（1）=2¹•ln2-4＜0，F（2）=2²•ln2-2＞0，

即F（x）=2^X•ln2-[4/x]零点在区间（1，2）内

所以f′（x）-[4/x]=0的解所在的区间是（1，2）

故选：C．

点评：

本题考点： 导数的运算．

考点点评： 本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出f（x）-2x是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度．