Question

已知函数f(x)＝ax+2x+b，a，b∈R，若函数f（x）图象经点（0，2），且图象关于点（-1，1）成中心对称．

Answer 1

解题思路：（1）先根据图象经点（0，2），求出b的值；再结合图象关于点（-1，1）成中心对称求出a的值即可；

（2）先根据第一问的结果求出递推关系式，再整理得到数列{a_n+2}为等比数列进而求出结论；

（3）先你根据错位相减法求出S_n，进而求出

s

n

(n−1)•

2

n

的范围，即可求出结论．

（1）因为函数f（x）图象经点（0，2），

∴f（0）=2⇒[2/b]=2⇒b=1；…2分

∵图象关于点（-1，1）成中心对称

∴f（0）+f（-2）=2，

∴f（-2）=0⇒[−2a+2/−2+1]=0⇒a=1；

∴f（x）=[x+2/x+1]．…..4分

（2）∵a_n+1=[2

an+2

an+1−1=2a_n+2，

∴a_n+1+2=2（a_n+2）

∴{a_n+2}为等比数列⇒a_n+2=（a₁+2）•2^n-1

∴a_n=2ⁿ⁺¹-2；…8分

（3）∵b_n=n（a_n+2）=n•2ⁿ⁺¹，

∴S_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹；

2S_n=2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²；

-S_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=

22(1−2n)/1−2]-n•2ⁿ⁺²=（1-n）2ⁿ⁺²-4；

∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺²+4

∴

sn

(n−1)•2n=4+

4

(n−1)•2n≤5；

∴m的最小值为5…..13分．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题主要考察数列与函数的综合．其中涉及到函数f（X）关于一个点（M，N）成中心对称，则有f（2M-x）+f（x）=2N或f（M-x）+f（M+x）=2N这一结论的运用．