解题思路：分别判断命题p，q的真假，然后利用复合命题与简单命题之间的关系进行判断即可．
∵△=1-4=-3＜0，∴任意x∈R，都有x2+x+1＞0成立，∴命题p为真命题．
∵sinx+cosx=
2sin(x+
π
4)∈[−
2，
2]，
∴不存在x∈R，使得sinx+cosx=2，∴命题q为假命题．
∴p且q为假命题，¬p或q为假命题，p或q为真命题，¬p且¬q为假命题．
故选：C．
点评：
本题考点： 复合命题的真假．
考点点评： 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系．利用条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．