Question

已知抛物线D的顶点是椭圆x24+y23=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合

Answer 1

解题思路：（1）由题意，设抛物线方程为y2=2px（p＞0）．由a2-b2=4-3=1，得c=1．由此能求出抛物线D的方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由于O为PQ之中点，故当l⊥x轴时由抛物线的对称性知∠AQP=∠BQP，当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-4），代入抛物线方程，得k2x2-4（2k2+1）x+16k2=0，由此能够证明∠AQP=∠BQP．

（1）由题意，可设抛物线方程为y²=2px（p＞0）．

由a²-b²=4-3=1，得c=1．

∴抛物线的焦点为（1，0），∴p=2．

∴抛物线D的方程为y²=4x．…

（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由于O为PQ之中点，故当l⊥x轴时，由抛物线的对称性知，一定有∠AQP=∠BQP，

当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-4），

代入抛物线方程，得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，

∴x₁+x₂=

4(2k2+1)

k2，x₁x₂=16，

∵k_AQ=

y1

x1+4，k_BQ=

y2

x2+4，

∴k_AQ+k_BQ=

k(2x1x2−32)

(x1+4)(x2+4)=0，

∴∠AQP=∠BQP．

综上证知，∠AQP=∠BQP．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．

考点点评： 本题考查抛物线方程的求法，直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．