Question

已知抛物线C的顶点是椭圆 x 2 4 + y 2 3 =1 的中心，且焦点与该椭圆右焦点重合．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，设抛物线C的标准方程为y ²=2px（x＞0），焦点F（

p

2 ，0），

∵椭圆

x 2

4 +

y 2

3 =1 的右焦点为（1，0），

∴

p

2 =1 ，即p=2，

∴抛物线方程为：y ²=4x，…（4分）

（Ⅱ）（ⅰ）设直线AB：my=x-a．

联立

my=x-a

y 2 =4x ，消x得

y 2

4 -my-a =0，

设A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂），则y ₁y ₂=-4a， x 1 x 2 =

y 21

y 22

16 = a 2 ，…（6分）

由S _△AOB=

1

2 |OA|•|OB|•sin∠AOB

=

1

2 |OA|•|OB|•cos∠AOB•tan∠AOB ，

∴ t=

1

2 |OA|•|OB|•cos∠AOB ，

∵ |OA|•|OB|•cos∠AOB=

OA •

OB = x 1 x 2 + y 1 y 2 ，…（8分）

∴ t=

1

2 ( x 1 x 2 + y 1 y 2 )=

1

2 ( a 2 -4a)=

1

2 (a-2) 2 -2≥-2 ，

∴当a=2时，t有最小值一2．…（10分）

（ⅱ）由（ⅰ）可知D（x ₁，-y ₁），y ₁+y ₂=4m，y ₁y ₂=4，

直线BD的方程为y-y ₂=

y 1 + y 2

x 2 - x 1 •(x- x 2 ) ，

即 y- y 2 =

y 2 + y 1

y 22

4 -

y 21

4 •(x-

y 22

4 )

y= y 2 +

4

y 2 - y 1 (x-

y 22

4 )

∴y=

4

y 2 - y 1 x-

4

y 2 - y 1 =

4

y 2 - y 1 (x-1) ，

∴直线BD过定点（1，0）．…（14分）