Question

F(x)=f(x)/x^2,f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,如何证明F(x)在[a,b]连续,在(a,b)可

Answer 1

令f(x)=(∫b a f(t)dt ) x^2 -(2∫b a 1dt)x +(∫b a 1/f(t)dt),则：

f(x)=∫b a f(t) x^2 dt -2∫b a xdt +∫b a 1/f(t)dt

=∫b a [f(t) x^2 -2x +1/f(t)]dt=∫b a {[f(t)^0.5 x -1/f(t)^0.5]^2}dt ≥0

故这个关于x的二次函数f(x)的判别式应小于等于0,即：

△=(2∫b a 1dt)^2 -4(∫b a f(t)dt )(∫b a 1/f(t)dt)=4(b-a)^2 -4(∫b a f(t)dt )(∫b a 1/f(t)dt)≤0

即：(∫b a f(t)dt )(∫b a 1/f(t)dt)≥(b-a)^2

把t换成x即为要证明的结论

注：实际上这就是积分形式的柯西不等式.