Question

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与反比例函数y＝a+4x的图象交于A（a，-3），与y轴交于点B．

Answer 1

解题思路：（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，然后解方程求出a的值，代入反比例函数解析式整理即可；

（2）过点A作AC⊥y轴于C，根据∠ABO=135°求出∠ABC=45°，再根据等角对等边的性质得到BC=AC=1，然后求出OB的长度，从而可得点B的坐标，再把点A的坐标代入二次函数解析式求出b的值，从而得到二次函数的解析式；

（3）先求出翻折平移后的二次函数解析式，再把点P的坐标代入反比例函数解析式求出点P的坐标，然后把点P的坐标代入并求出二次函数解析式，然后根据二次函数图象的增减性分段求出y的取值范围，从而得解．

（1）∵A（a，-3）在y=[a+4/x]的图象上，

∴[a+4/a]=-3，

解得a=-1，

∴y=[−1+4/x]=[3/x]，

∴反比例函数的解析式为y=[3/x]；

（2）过A作AC⊥y轴于C．

∵A（-1，-3），

∴AC=1，OC=3，

∵∠ABO=135°，

∴∠ABC=45°，

可得BC=AC=1，

∴OB=2，

∴B（0，-2），

由抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于B，得c=-2．

∵a=-1，

∴y=-x²+bx-2，

∵抛物线过A（-1，-3），

∴-1-b-2=-3，

∴b=0，

∴二次函数的解析式为y=-x²-2；

（3）将y=-x²-2的图象沿x轴翻折，得到二次函数解析式为y=x²+2，

设将y=x²+2的图象向右平移后的二次函数解析式为y=（x-m）²+2（m＞0），

∵点P（x₀，6）在函数y=[3/x]上，

∴6=[3

x0，

解得x₀=

1/2]，

∴y=（x-m）²+2的图象过点P（[1/2]，6），

∴（[1/2]-m）²+2=6，

解得m₁=[5/2]，m₂=-[3/2]，（不合题意，舍去），

∴平移后的二次函数解析式为y=（x-[5/2]）²+2，

∵a=1＞0，

∴①当[1/2]≤x≤[5/2]时，2≤y≤6，

②当[5/2]＜x≤3时，2＜y≤[9/4]，

∴当[1/2]≤x≤3时，2≤y≤6，

∴平移后的二次函数y的取值范围为 2≤y≤6．

点评：

本题考点： 反比例函数综合题．

考点点评： 本题是对反比例函数的综合考查，主要有待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，函数图象的平移，以及二次函数图象的增减性，综合性较强，难度较大，特别是第（3）小题，求出点P的坐标是解题的关键．