Question

已知函数f（x）定义在R上，并且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y时，f（x）≠f（y

Answer 1

（1）对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，

不妨设x=y=0，则f（0）=0，

令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）

⇒f（x）+f（-x）=0

⇒f（-x）=-f（x），

故f（x）是奇函数；

（2）∵f（1）=1，f（x+y）=f（x）+f（y）

∴f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2）=2，

不等式化为 f(x)＞f(

1

x-1 )+2⇒f(x)＞f(

1

x-1 )+f(2)⇒f(x)＞f(

1

x-1 +2) （*）

∵当x≠y时，f（x）≠f（y），

x＞0时，有f（x）＞0，

设x ₂＞x ₁＞0则：f（x ₁+x ₂）=f（x ₁）+f（x ₂）

∴f（x ₂）-f（x ₁）=f（x ₂）+f（x ₂）-f（x ₁+x ₂）=f（2x ₂）+f（-x ₁-x ₂）=f（x ₂-x ₁），又x ₂-x ₁＞0，

∴f（x ₂-x ₁）＞0

即f（x ₂）-f（x ₁）＞0⇒f（x ₂）＞f（x ₁），

故f（x）在（0，+∞）上递增，由f（x）为奇函数，

∴x＜0时必有f（x）＜0，加之f（0）=0，

于是f（x）在R上为增函数．

根据（*）式不等式化为： x＞

1

x-1 +2 ⇒（x-1）（x ²-3x+1）＞0，

利用穿针线法得：

不等式的解集为： {x|

3-

5

2 ＜x＜1或x＞

3+

5

2 } ．