Question

已知定义在R上的单调函数y=f（x），当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y

Answer 1

解题思路：（1）令y=0得f（x）[1-f（0）]=0，利用条件：当x＜0时，f（x）＞1，可得1-f（0）=0，取f（x）=

(

1

2

)

x

即可满足条件．

（2））①由递推关系知f（a_n+1）•f（-2-a_n）=1，即f（a_n+1-2-a_n）=f（0），从而a_n+1-a_n=2（n∈N^*）．利用等差数列的通项公式即可得出．

②利用等比数列的前n项和公式即可得出S_n，再利用“裂项求和”即可得出T_n，再利用二项式定理进行放缩即可证明；

③令F（n）=

1

a

n+1

+

1

a

n+2

+…+

1

a

2n

，通过作差得出F（n）的单调性，计算出F（2），再利用对数函数的单调性即可得出．

（1）令y=0得f（x）[1-f（0）]=0，∵当x＜0时，f（x）＞1，∴f（0）=1，

适合题意的f（x）的一个解析式是f（x）=(

1

2)x．

（2）①由递推关系知f（a_n+1）•f（-2-a_n）=1，即f（a_n+1-2-a_n）=f（0），

从而a_n+1-a_n=2（n∈N^*）．

∴数列{a_n}是公差为2的等差数列．

又a₁=1，∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．

②S_n=[1/2+(

1

2)3+…+(

1

2)2n−1=

1

2[1−(

1

4)n]

1−

1

4]=[2/3(1−

1

4n)，

Tn＝

1

1×3+

1

3×5+…

1

(2n−1)(2n+1)]=Tn＝

1

2[(1−

1

3)+(

1

3−

1

5)+…+(

1

2n−1−

1

2n+1)]=[1/2]（1−

1

2n+1），

∴[4/3Tn=

2

3(1−

1

2n+1)．

∵4n＝(1+3)n＞1+3n＞2n+1，从而Sn＞

4

3Tn．

③令F（n）=

1

an+1+

1

an+2+…+

1

a2n]，则F（n+1）-F（n）=

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；数列与函数的综合．

考点点评： 熟练掌握等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、“裂项求和”、利用二项式定理进行放缩、利用“作差法”比较两个数的大小、对数函数的单调性等是解题的关键．