Question

已知定义在R上的单调函数y=f(x),当x1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y) 求f(0)

Answer 1

（1）楼上第一问的回答漏掉了题目条件,

已求出f(0)=1或0

若f(0)=0,令y=0,依条件有f(x)=f(x)f(0)=0,f(x)为常函数,与题目不符,所以,只有f(0)=1

又由当x1且f(x)在R上为单调函数,故可知f(x)在R上为单调减函数.

（2）由f（a(n+1)）=1/f(-2-an)得

f（a(n+1)）f(-2-an)=f(a(n+1)-an-2)=1

由a1=f(0)=1

得f(a(n+1)-an-2)=f(0)

又因为f(x)是单调函数,就一定有

a(n+1)-an-2=0

故an是以1为首项,2为公差的等差数列

an=1+2(n-1)=2n-1