Question

1.证明(2n+1)+(2n+3)+.+(4n-1)=3n*n 3N的平方 2.证明根号3不是分数

Answer 1

1

等差数列{2n+1}的第n项即(2n+1),到第2n-1项[即2(2n-1)+1]的和,一共有(2n-1) - n +1 =n 项的和

所以

(2n+1)+(2n+3)+.+(4n-1) = (首项+末项)x项数/2

=[(2n+1)+(4n-1)]n/2

=3n^2

2

证明：反证法,假设根号3是一个分数,那么不妨设 √3 = m/n,其中m,n为互质的正整数.

那么 3 = (√3)^2 = (m/n)^2 = (m^2)/(n^2)

所以 3n^2 = m^2

注意到3是质数

于是此式可以知道：m^2 可以被3整除.所以3也是m的因子.(否则若m不提供3的因子,m^2不可能被3整除)

于是,既然3是m的因子,那么m^2 = m*m 肯定是9的倍数.

由此可以知道 3n^2是9 的倍数,那么 n^2就是3的倍数.

同理,n就是3的倍数.

那么由此矛盾产生：m和n含有公因子3,这与互质的假设是矛盾的.

所以假设不成立,√3不是分数.