Question

已知f(x)的定义域为｛x∈R｜x≠0｝,且满足2f(x)+f( )=x,试判断f(x)的奇偶性.

Answer 1

2f(x)+f(1/x )=x

2f(-x)+f(-1/x )=-x

两式相加

2f(x)+2f(-x)+f(-1/x )+f(1/x )=0

当X=t t∈R

2f(t)+2f(-t)+f(-1/t )+f(1/t )=0 (1)

当X=1/t时

2f(1/t)+2f(-1/t)+f(t )+f(-t )=0 (2)

1式乘以2-2式

得到5[f(t )+f(-t )]=0

即f(x)=-f(-x)

所以为奇函数