Question

设函数f(x)在x=a可导且f'(a)不等于0.求当x趋向于0时[f(a+x)/f(a)]的1/x次方的极限

Answer 1

x→0

lim [f(a+x)/f(a)]^(1/x)

=lim e^ln [f(a+x)/f(a)]^(1/x)

=e^lim ln [f(a+x)/f(a)]^(1/x)

考虑

lim ln [f(a+x)/f(a)]^(1/x)

=lim [lnf(a+x)-lnf(a)] / x

根据导数的定义

=[lnf(x)]' |x=a

=f'(a)/f(a)

因此,原极限=e^[f'(a)/f(a)]

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