Question

（2012?随州）在一次数学活动课上，老师出了一道题：（1）解方程x2-2x-3=0巡视后，老师发现同学们解此道

Answer 1

（1）由x²-2x-3=0，得（x+1）（x-3）=0，

∴x₁=-1，x₂=3； …（3分）

（2）方法一：由mx²+（m-3）x-3=0，得（x+1）?（mx-3）=0，

∵m≠0，∴x₁=-1，x₂=[3/m]…（3分）

方法2：由公式法：x₁，x₂=

3-m±

(m-3)2+12m

2m=

3-m±|m+3|

2m，

∴x₁=-1，x₂=[3/m]；

（3）①1°当m=0时，函数y=mx²+（m-3）x-3为y=-3x-3，

令y=0，得x=-1；令x=0，则y=-3．

∴直线y=-3x-3过定点A（-1，0），C（0，-3）…（2分）

2°当m≠0时，函数y=mx²+（m-3）x-3为y=（x+1）?（mx-3），

∴抛物线y=（x+1）?（mx-3）恒过两定点A（-1，0），C（0，-3）；

故不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点；

②（I）当m＞0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A（-1，0），C（0，-3）和B（[3/m]，0），

观察图象，可知，当△ABC为直角三角形时，

则△AOC∽△COB，

∴[AO/CO=

CO

BO]，

∴|OC|²=|OA|?|OB|，

∴3²=1×|OB|，

∴OB=9，即B（9，0），

∴当0＜

3

m＜9．即：m＞[1/3]，

当m＞[1/3]时，△ABC为锐角三角形；

（II）观察图象可知

当m＜0且m≠-3时，点B在x轴的负半轴上，B与A不重合．

∴△ABC中的∠BAC＞90°，

∴△ABC是钝角三角形．

∴当m＜0且m≠-3时，△ABC为钝角三角形，

综上当m＞[1/3]时，△ABC为锐角三角形．