解题思路:(1)由题意可得:当x∈(π,2π]时,
y=f(x)=
4
π
x−2
,再根据函数的奇偶性可得:f(-2π)=f(2π)与
f(−
π
6
)=f(
π
6
)
,进而结合题中的条件可得答案.
(2)设x∈[-2π,-π),则-x∈(π,2π],由题得:当x∈(π,2π]时,
y=f(x)=
4
π
x−2
,可得
y=f(−x)=−
4
π
x−2
,进而结合函数的奇偶性可得
当x∈[−2π,−π)时,f(x)=−
4
π
x−2
;
同理可得:当x∈[-π,0]时,f(x)=2cosx,即可得到答案.
(1)因为当x∈(π,2π]时,y=f(x)的图象是斜率为[4/π],在y轴上截距为-2的直线在相应区间上的部分,
所以当x∈(π,2π]时,y=f(x)=
4
πx−2,
又因为y=f(x)是偶函数
所以f(−2π)=f(2π)=
4
π•2π−2=6.
又当x∈[0,π]时,f(x)=2cosx,
所以f(−
π
6)=f(
π
6)=2•cos
π
6=
3.
(2)设x∈[-2π,-π),则-x∈(π,2π],
因为当x∈(π,2π]时,y=f(x)=
4
πx−2,
所以y=f(−x)=−
4
πx−2,
又因为f(x)是定义在[-2π,2π]上的偶函数,
所以当x∈[−2π,−π)时,f(x)=−
4
πx−2;
同理可得:当x∈[-π,0]时,f(x)=2cosx,
所以f(x)=
−
4
πx−2,x∈[−2π,−π)
2cosx
x∈[−π,π]
4
πx−2
x∈(π,2π]
其图象在[-2π,2π]上的图象如图所示,
故函数的递增区间为[-π,0],(π,2π];递减区间为[-2π,-π),[0,π]
点评:
本题考点: 函数奇偶性的性质;分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的单调性及单调区间;函数的图象.
考点点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质,如奇偶性、单调性、函数值、图象等性质,以及函数性质的综合应用与直线的点斜式方程,此题综合性较强属于中档题.