解题思路：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，先利用根与系数的关系以及抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点间的距离为1，得出a，b关系的等式，进而利用顶点的纵坐标得出a，b的等式求出即可，进而得出a，b，c的值．
设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
∵y=ax2+bx+c与x轴的两个交点间的距离为1，设两交点为：（x1，0），（x2，0），
∴|x1-x2|=1，
∴（x1-x2）2=1，
∴（x1+x2）2-4x1x2=1，
∴（-[b/a]）2-4×[c/a]=1①，
∵将抛物线y=ax2+bx+c向上平移一个单位，则它与x轴只有一个公共点；
∴
4ac−b2
4a=-1，
∵将抛物线y=ax2+bx+c向下平移一个单位，则它经过原点，
∴c=1②，
∴
4a−b2
4a=-1，
∴8a=b2③，
把②、③代入①，得
∴[8a
a2-4×
1/a]=1，
解得：a=4，
∴
4×4−b2
4×4=-1，
解得：b=±4
2，
故此二次函数的解析式为y=4x2+4
2x+1或y=4x2-4
2x+1．
点评：
本题考点： 二次函数图象与几何变换．
考点点评： 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线的性质，二次函数与x轴交点以及根与系数的关系，得出a，c的值是解题的关键．