Question

已知数列{a n }满足 S n = n 2 a n （n∈N * ），其中S n 是{a n }的前n项和，且a 1

Answer 1

（1）由 S n = n 2 a n （n∈N ^*），得 S n-1 =(n-1 ) 2 a n-1 （n≥2），

两式相减，得 a n = n 2 a n -(n-1 ) 2 a n-1 ，整理得

a n

a n-1 =

n-1

n+1 （n≥2），

∴n≥2时， a n = a 1 ×

a 2

a 1 ×

a 3

a 2 ×…×

a n

a n-1 =1×

1

3 ×

2

4 ×

3

5 ×…×

n-1

n+1 =

2

n(n+1) ，

又a ₁=1适合上式，

∴ a n =

2

n(n+1) ；

（2）由（1）知， a n =

2

n(n+1) =2（

1

n -

1

n+1 ），

∴S _n=2（1-

1

2 +

1

2 -

1

3 + …+

1

n -

1

n+1 ）=2（1-

1

n+1 ）=

2n

n+1 ．