已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c图象上的点P(1,-2)处的切线方程为y=-3x+1.

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  • 解题思路:(1)对函数f(x)求导,由题意点P(1,-2)处的切线方程为y=-3x+1,可得f′(1)=-3,再根据f(1)=-1,又由f′(-2)=0联立方程求出a,b,c,从而求出f(x)的表达式.

    (2)由题意函数f(x)在区间[-2,0]上单调递增,对其求导可得f′(x)在区间[-2,0]大于或等于0,从而求出b的范围.

    f′(x)=-3x2+2ax+b,(2分)

    因为函数f(x)在x=1处的切线斜率为-3,

    所以f′(1)=-3+2a+b=-3,即2a+b=0,(3分)

    又f(1)=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1.(4分)

    (1)函数f(x)在x=-2时有极值,所以f'(-2)=-12-4a+b=0,(5分)

    解得a=-2,b=4,c=-3,(7分)

    所以f(x)=-x3-2x2+4x-3.(8分)

    (2)因为函数f(x)在区间[-2,0]上单调递增,所以导函数f′(x)=-3x2-bx+b

    在区间[-2,0]上的值恒大于或等于零,(10分)

    f′(−2)=−12+2b+b≥0

    f′(0)=b≥0,得b≥4,所以实数b的取值范围为[4,+∞)(14分)

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 此题利用导数研究函数的极值,若函数f′(x)>0,得f(x)为增函数,若f′(x)<0,得f(x)为减函数,充分利用此条件解题.