解题思路:(1)过点C作CM∥OA交y轴于M,则△BCM∽△BAO,根据相似三角形对应边成比例得出[CM/OA]=[BC/AB]=[1/4],即OA=4CM=4,由此得出点A的坐标为(-4,0);
(2)先将A(-4,0)代入y=ax2+bx,化简得出b=4a,即y=ax2+4ax,则顶点F(-2,-4a),设直线AB的解析式为y=kx+n,将A(-4,0)代入,化简得n=4k,即直线AB的解析式为y=kx+4k,则B点(0,4k),D(-2,2k),C(-1,3k).由C(-1,3k)在抛物线y=ax2+4ax上,得出3k=a-4a,化简得到k=-a.再由△FCD与直角△AED相似,则△FCD是直角三角形,又∠FDC=∠ADE<90°,∠CFD<90°,得出∠FCD=90°,△FCD∽△AED.再根据两点之间的距离公式得出FC2=CD2=1+a2,得出△FCD是等腰直角三角形,则△AED也是等腰直角三角形,所以∠DAE=45°,由三角形内角和定理求出∠OBA=45°,那么OB=OA=4,即4k=4,求出k=1,a=-1,进而得到此二次函数的关系式为y=-x2-4x.
(1)如图,过点C作CM∥OA交y轴于M.
∵AC:BC=3:1,
∴[BC/AB]=[1/4].
∵CM∥OA,
∴△BCM∽△BAO,
∴[CM/OA]=[BC/AB]=[1/4]=[BM/OB],
∴OA=4CM=4,
∴点A的坐标为(-4,0);
(2)∵二次函数y=ax2+bx(a<0)的图象过A点(-4,0),
∴16a-4b=0,
∴b=4a,
∴y=ax2+4ax,对称轴为直线x=-2,
∴F点坐标为(-2,-4a).
设直线AB的解析式为y=kx+n,将A(-4,0)代入,
得-4k+n=0,
∴n=4k,
∴直线AB的解析式为y=kx+4k,
∴B点坐标为(0,4k),D点坐标为(-2,2k),C点坐标为(-1,3k).
∵C(-1,3k)在抛物线y=ax2+4ax上,
∴3k=a-4a,
∴k=-a.
∵△AED中,∠AED=90°,
∴若△FCD与△AED相似,则△FCD是直角三角形,
∵∠FDC=∠ADE<90°,∠CFD<90°,
∴∠FCD=90°,
∴△FCD∽△AED.
∵F(-2,-4a),C(-1,3k),D(-2,2k),k=-a,
∴FC2=(-1+2)2+(3k+4a)2=1+a2,CD2=(-2+1)2+(2k-3k)2=1+a2,
∴FC=CD,
∴△FCD是等腰直角三角形,
∴△AED是等腰直角三角形,
∴∠DAE=45°,
∴∠OBA=45°,
∴OB=OA=4,
∴4k=4,
∴k=1,
∴a=-1,
∴此二次函数的关系式为y=-x2-4x.
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 本题是二次函数的综合题型,其中涉及到相似三角形、等腰直角三角形的判定与性质,运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式,两点之间的距离公式、抛物线对称轴的求法,函数图象上点的坐标特征.综合性较强,有一定难度.(2)中得出△FCD是等腰直角三角形是解题的关键.