Question

已知函数f（x）在（-1，1）上有定义，当0＜x＜1时，f（x）＜0，且对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）

Answer 1

解题思路：（1）令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x，可得f（-x）=-f（x），故得证；（2）由单调性的定义，任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，由性质可得可得

f（x₂）-f（x₁）=f（

x

2

−

x

1

1−

x

2

x

1

），由已知可判f（

x

2

−

x

1

1−

x

2

x

1

）＜0，进而得证．

（1）由题意，令x=y=0代入已知式子可得：

f（0）+f（0）=f（0），解得f（0）=0，

令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，

即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数；

（2）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，

故f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（

x2−x1

1−x2x1）

∵x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，

∴0＜x₂-x₁＜2，0＜1-x₂x₁＜2，

∴0＜

x2−x1

1−x2x1＜1，故f（

x2−x1

1−x2x1）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），

所以f（x）在（-1，1）上单调递减．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断与证明，给x，y赋值是解决问题的关键，属基础题．