Question

若x1和x2是关于x的方程 x^2 - (2k+1)x + k^2 + 1 = 0 的两个实数根,且x1 ,x2都大于1

Answer 1

首先 因为有2个实数根,所以判别式 b^2 - 4ac > 0, 因此

(2k+1)^2 - 4(k^2+1) > 0

4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 -4 > 0

4k -3 > 0

k > 3/4

x^2 - (2k+1)x + k^2 + 1 = 0 两根中 ,较小的一个根为

[(2k+1) - √(4k-3) ]/2

两根都大于1,则

[(2k+1) - √(4k-3) ]/2 > 1

(2k+1) - √(4k-3) > 2

(2k-1) > √(4k-3)

k > 3/4 , 所以 2k-1 > 0,所以上面的不等式可以两边同时平方,不等号方向不变.

(2k-1)^2 > 4k -3

4k^2 -4k + 1 > 4k -3

4k^2 - 8k + 4 > 0

k^2 - 2k + 1 > 0

(k-1)^2 > 0

所以 k ≠ 1

综上所述

k > 3/4 且 k ≠ 1