如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21.动点P从点D出发,沿射线DA的

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  • 解题思路:(1)点P作PM⊥BC,垂足为M,则四边形PDCM为矩形,根据梯形的面积公式就可以利用t表示,就得到S与t之间的函数关系式.

    (2)以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况:

    ①若PQ=BQ,②若BP=BQ,③若PB=PQ.

    在Rt△PMQ中根据勾股定理,就得到一个关于t的方程,就可以求出t.

    (3)根据相似三角形对应边成比例可列式求出t,从而根据正切的定义求出值.

    (4)首先假设存在,然后再根据相似三角形对应边成比例求证.

    (1)如图,过点P作PM⊥BC,垂足为M,则四边形PDCM为矩形.

    ∴PM=DC=12.

    ∵QB=16-t,

    ∴S=[1/2]×12×(16-t)=96-6t(0≤t<16);

    (2)由图可知:CM=PD=2t,CQ=t.

    以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况:

    ①若PQ=BQ.

    在Rt△PMQ中,PQ2=t2+122

    由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t)2

    解得t=[7/2];

    ②若BP=BQ.

    在Rt△PMB中,BP2=(16-2t)2+122

    由BP2=BQ2得:(16-2t)2+122=(16-t)2

    即3t2-32t+144=0.

    由于△=-704<0,

    ∴3t2-32t+144=0无解,

    ∴PB≠BQ.

    ③若PB=PQ.

    由PB2=PQ2,得t2+122=(16-2t)2+122

    整理,得3t2-64t+256=0.

    解得t1=[16/3],t2=16(舍去)

    综合上面的讨论可知:当t=[7/2]秒或t=[16/3]秒时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形.

    (3)如图,由△OAP∽△OBQ,得[AP/BQ=

    AO

    OB=

    1

    2].

    ∵AP=2t-21,BQ=16-t,

    ∴2(2t-21)=16-t.

    ∴t=[58/5].

    过点Q作QE⊥AD,垂足为E.

    ∵PD=2t,ED=QC=t,

    ∴PE=t.

    在Rt△PEQ中,tan∠QPE=[QE/PE=

    12

    t=

    30

    29].

    又∵AD∥BC,

    ∴∠BQP=∠QPE,

    ∴tan∠BQP=[30/29];

    (4)设存在时刻t,使得PQ⊥BD.

    如图,过点Q作QE⊥AD于E,垂足为E.

    ∵AD∥BC

    ∴∠BQF=∠EPQ,

    又∵在△BFQ和△BCD中∠BFQ=∠C=90°,

    ∴∠BQF=∠BDC,

    ∴∠BDC=∠EPQ,

    又∵∠C=∠PEQ=90°,

    ∴Rt△BDC∽Rt△QPE,

    ∴[DC/BC=

    PE

    EQ],即[12/16=

    t

    12].

    解得t=9.

    所以,当t=9秒时,PQ⊥BD.

    点评:

    本题考点: 解直角三角形;勾股定理;直角梯形;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 梯形的问题可以通过作高线可以转化为直角三角形与矩形的问题.并且要理解以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形,应分①若PQ=BQ,②若BP=BQ,③若PB=PQ.三种情况进行讨论.