解题思路:(1)(i)先求出函数f(x)的导函数f′(x),然后将其配凑成f′(x)=h(x)(x2-bx+1)这种形式,再说明h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,即可证明函数f(x)具有性质P(b);
(2)根据第一问令φ(x)=x2-bx+1,讨论对称轴与2的大小,当b≤2时,对于x>1,φ(x)>0,所以f′(x)>0,可得f(x)在区间(1,+∞)上单调性,当b>2时,φ(x)图象开口向上,对称轴 x=[b/2]>1,可求出方程φ(x)=0的两根,判定两根的范围,从而确定φ(x)的符号,得到f′(x)的符号,最终求出单调区间.
(2)由题设知,函数g(x)得导数g′(x)=h(x)(x2-2x+1),其中h(x)>0对于任意得x∈(1,+∞)都成立
当x>1时,g′(x)=h(x)(x-1)2>0,从而g(x)在(1,+∞)上单调递增分①m∈(0,1)②m≤0③m≥1三种情况讨论求解m得范围即可
(1)f′(x)=[1/x]-
b+2
(x+1)2=
1
x(x+1)2(x2−bx+1)
∵x>1时,h(x)=
1
x(x+1)2>0恒成立,
∴函数f(x)具有性质P(b);
(ii)当b≤2时,对于x>1,φ(x)=x2-bx+1≥x2-2x+1=(x-1)2>0
所以f′(x)>0,故此时f(x)在区间(1,+∞)上递增;
当b>2时,φ(x)图象开口向上,对称轴 x=[b/2]>1,
方程φ(x)=0的两根为:
b+
b2−4
2,
b−
b2−4
2
而
b+
b2−4
2>1,
b−
b2−4
2=
2
b+
b2−4∈(0,1)
当 x∈(1,
b+
b2−4
2)时,φ(x)<0,f′(x)<0,
故此时f(x)在区间 (1,
b+
b2−4
2)上递减;
同理得:f(x)在区间[
b+
b2−4
2,+∞)上递增.
综上所述,当b≤2时,f(x)在区间(1,+∞)上递增;
当b>2时,f(x)在 (1,,
b+
b2−4
2)上递减;f(x)在[
b+
b2−4
2,+∞)上递增.
(2)由题设知,函数g(x)得导数g′(x)=h(x)(x2-2x+1),其中h(x)>0对于任意得x∈(1,+∞)都成立
∴当x>1时,g′(x)=h(x)(x-1)2>0,从而g(x)在(1,+∞)上单调递增
①m∈(0,1),α=mx1+(1-m)x2>mx1+(1-m)x1=x1
α<mx2+(1-m)x2=x2
∴α∈(x1,x2)同理可得β∈(x1,x2)
由g(x)得单调性可知,g(α),g(β)∈(g(x1),g(x2))
从而有|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|符合题意
②m≤0时,α=mx1+(1-m)x2≥mx2+(1-m)x2=x2
β=(1-m)x1+mx2≤(1-m)x1+mx1=mx1
于是由α>1,β>1及g(x)得单调性可知g(β)≤g(x1)<g(x2)≤g(α)
∴|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|与题设不符
③m≥1时,同理可得α≤x1,β≥x2,进而可得|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|与题设不符
综合①②③可得m∈(0,1)
点评:
本题考点: 不等式比较大小;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.