ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根,求所有正整数a的值

1个回答

  • 所有正整数a的值是:1、3、6、10;

    因为a是正整数,所以原方程是关于x的一元二次方程.要使方程有实根,首先它的判别式必须为非负数,即△≥0,

    而△=[2(2a-1)]^2-4a*4(a-3)

    =4(4a^2-4a+1)-16a^2+48a

    =32a+4

    显然,判别式是大于0.

    原方程整理成:

    a(x^2+4x+4)=12+2x,当x=-2时,等式两边不相等,故x≠-2,即x^2+4x+4≠0,于是有

    a=(12+2x)/(x^2+4x+4)--------------------------------①

    因为x^2+4x+4=(x+2)^2>0,a为正整数,所以12+2x>0,且

    12+2x≥x^2+4x+4

    解得:-4≤x≤2;其中x≠-2.

    x的可能值是:-4,-3,-1,0,1,2;

    代入①式,相应得:1,6,10,3,14/9,1;

    a取1,3,6,10,其余舍去.