Question

求幂函数f(x)=x^(t^2+2t+1)(t∈N）的定义域,值域,并判断其单调性.

Answer 1

1、(t^2+2t+1)=(t+1)^2>=4,故Df(x)=R

2、值域需讨论(t+1)^2的奇偶性.

t为奇数时,(t+1)为偶,(t+1)^2为偶,Zf(x)=R+u{0}；

t为偶数时,(t+1)为奇,(t+1)^2为奇,Zf(x)=R；

3、单调性也需讨论,利用函数的性质求：

t为奇数时,(t+1)为偶,(t+1)^2为偶,x∈(-∞,0)单调递减,x∈[0,+∞)单调递增；

t为偶数时,(t+1)为奇,(t+1)^2为奇,x∈R单调递增.

单调性可以函数求导后判断：

f'(x)=(t+1)^2 [x^(t^2+2t)],f'(x)正值为单增,负值为单减.