解题思路：（1）根据题意，x1、x2是方程g（x）=f（x）-x=0的两个实数根，由x1＜1＜x2可得g（1）＜0，证出x1x2＜x1+x2-1．由此结合x=m满足m=[1/2]（-[b−1/a]-[1/a]），将其化简成关于x1、x2的式子即可证出m
＞
1
2
；
（2）由方程g（x）=0，结合根与系数的关系算出x1x2=[1/a]＞0，故x1、x2同号．结合题意0＜x1＜2且|x1-x2|=2，证出x2=x1+2＞2，从而得到2∈（x1，x2），由g（2）＜0，即可证出4a+2b＜1；
（3）由前面结论得x1+x2=[−b+1/a]，x1x2=[1/a]．设α＜β，将2（α-x1）（β-x2）展开化简，进行配凑得2（α-x1）（β-x2）＞2αβ-（x1+x2）（α+β）+2x1x2，结合2αβ-（x1+x2）（α+β）+2x1x2=
2aαβ−(1−b)(α−β)+2
a
，可得
2aαβ−(1−b)(α−β)+2
a
＜0，结合a＞0即可得到原不等式成立．
（1）设g（x）=ax2+（b-1）x+1，且a＞0
∵x1＜1＜x2，∴（x1-1）（x2-1）＜0，即x1x2＜x1+x2-1，
于是x=m即x=-[b/2a]，也就是x=[1/2]（-[b−1/a]-[1/a]）
∴m=[1/2]（-[b−1/a]-[1/a]）=[1/2]（x1+x2）-[1/2]x1x2＞[1/2]（x1+x2）-[1/2][（x1+x2）-1]=[1/2]
即不等式m＞
1
2成立；
（2）由方程g（x）=ax2+（b-1）x+1=0，可得x1x2=[1/a]＞0，故x1、x2同号
由0＜x1＜2且|x1-x2|=2，得x2-x1=2
∴x2=x1+2＞2，
由此可得2∈（x1，x2），得g（2）＜0，
所以4a+2b-1＜0，可得4a+2b＜1；
（3）由前面的结论，得x1+x2=[−b+1/a]，x1x2=[1/a]
α、β为区间[x1，x2]上的两个不同的点，不妨设α＜β
0＞2（α-x1）（β-x2）
∵2（α-x1）（β-x2）=2αβ-2（βx1+αx2）+2x1x2
=2αβ-（x1+x2）（α+β）+2x1x2+（x1-x2）（α-β）＞2αβ-（x1+x2）（α+β）+2x1x2
且2αβ-（x1+x2）（α+β）+2x1x2=
2aαβ−(1−b)(α−β)+2
a
∴0＞
2aαβ−(1−b)(α−β)+2
a，
结合a＞0，可得2aαβ-（1-b）（a+β）+2＜0．
点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质．
考点点评： 本题给出二次函数满足的条件，求证不等式恒成立并讨论函数零点的分布．着重考查了一元二次方程根与系数的关系、函数的零点和不等式的等价变形等知识，考查了逻辑思维能力与推理论证能力，考查了转化化归与数形结合的数学思想，属于难题．