Question

已知函数f（x）=b•ax（其中a，b为常量且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．

Answer 1

解题思路：第（1）问，将A、B的坐标代入解析式，得关于a、b的方程组，解出a、b即可；

第2问，将（[1/a]）^x+（[1/b]）^x-m≥0化为，m≤（[1/a]）^x+（[1/b]）^x，只需m≤[（[1/a]）^x+（[1/b]）^x]_min即可，利用函数的y=（[1/a]）^x+（[1/b]）^x的单调性可求得其最小值．

（1）将A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a^x

得6=ab，24=ba³，

解得a=2，b=3．

（2）∵（[1/2]）^x+（[1/3]）^x-m≥0在x∈（-∞，1]时恒成立，

∴m≤（[1/2]）^x+（[1/3]）^x在x∈（-∞，1]时恒成立，

∴m≤[（[1/a]）^x+（[1/b]）^x]_minx∈（-∞，1]，

令f（x）=（[1/2]）^x+（[1/3]）^x x∈（-∞，1]，

任取x₁＜x₂≤1，

则f（x₁）-f（x₂）=(

1

2)x1−(

1

2)x2+(

1

3)x1−(

1

3)x2①

∵y＝(

1

2)x与y＝(

1

3)x在R上是减函数，

∴(

1

2)x1＞(

1

2)x2，（(

1

3)x1＞(

1

3)x2，

∴①式＞0，

∴f（x₁）＞f（x₂）

∴f（x）在（-∞，1]上是减函数，

f（x）_min=f（1）=[5/6]，

∴m≤[5/6]．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；指数函数的图像与性质．

考点点评： 不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值问题．求参数范围时一般先分离参数，然后研究不等式另一端函数式的最值．