Question

设函数f（x-1）=x+x2+x3+…+xn（x≠0，1），且f（x）中所有项的系数和为an，则limn→∞an2n=_

Answer 1

解题思路：求出表达式的和，然后求出f（x），利用赋值法求出f（x）中所有项的系数和为a_n，通过数列的极限求出极限值．

函数f（x-1）=x+x²+x³+…+xⁿ=

x(1−xn)

1−x，所以f（x）=

(x+1)[(x+1)n−1]

x，

当x=1时，f（x）中所有项的系数和为a_n=2×（2ⁿ-1）=2×2ⁿ-2，

lim

n→∞

an

2n=

lim

n→∞

2×2n −2

2n=2-

lim

n→∞

2

2n=2．

故答案为：2．

点评：

本题考点： 极限及其运算．

考点点评： 本题考查数列的前n项和的求法，二项式定理、数列的极限，是综合题，考查计算能力．