已知函数f(x) = 2x^3 + ax 与g(x) = bx^2 +c 的图象都过点P(2,0) 且在点P处有相同的切线
(1)求实数 a b c 的值 (2)设函数f(x)= f(x) +g(x) ,求F(x)的单调区间,并指出函数F(x)在该区间上的单调性
将点(2,0)的坐标代入得
0=2×2³+2a,a=-8
0=4b+c
对f(x),g(x)求导
f'(x)=6x²-4,g'(x)=2bx
在P点的切线相同,所以这点的导数值相同
6×2²-8=4b,解得b=4,所以c=-16
a=-8,b=4,c=-16
f(x)=2x³-8x,g(x)=4x²-16
F(x)=f(x)+g(x)=2x³+4x²-8x-16
F'(x)=6x²+8x-8
令F'(x)＝0,6x²+8x-8＝0,2(3x-2)(x+2)＝0
解得x＝-2或x＝2/3
F(x)的单调区间有(负无穷,-2),(-2,2/3),(2/3,正无穷)
F(x)在区间(负无穷,-2),(2/3,正无穷)上单调递增
在区间(-2,2/3)上单调递减