（1）证明：∵二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2,
∴抛物线的对称轴为x=2,
即−n2m=2,
化简得：n+4m=0．
（2）∵二次函数y=mx2+nx+p与x轴交于A（x1,0）、B（x2,0）,x1＜0＜x2,
∴OA=-x1,OB=x2；x1+x2=−nm,x1•x2=pm；
令x=0,得y=p,∴C（0,p）,∴OC=|p|．
由三角函数定义得：tan∠CAO=OCOA=|p|−x1=−|p|x1,tan∠CBO=OCOB=|p|x2．
∵tan∠CAO-tan∠CBO=1,即−|p|x1-|p|x2=1,
化简得：x1+x2 x1x2=-1|P|,
将x1+x2=−nm,x1•x2=pm代入得：−nmpm=-1|P|,
化简得：n=p|p|=±1．
由（1）知n+4m=0,
∴当n=1时,m=−14；当n=-1时,m=14．
∴m、n的值为：m=14,n=-1（此时抛物线开口向上）或m=−14,n=1（此时抛物线开口向下）．
（3）由（2）知,当p＞0时,n=1,m=−14,
∴抛物线解析式为：y=−14x2+x+p．
联立抛物线y=−14x2+x+p与直线y=x+3解析式得到：−14x2+x+p=x+3,
化简得：x2-4（p-3）=0 ①．
∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点,
∴一元二次方程①的判别式等于0,即△=02+16（p-3）=0,解得p=3．
∴抛物线解析式为：y=−14x2+x+p=y=−14x2+x+3=−14（x-2）2+4,
当x=2时,二次函数有最大值,最大值为4．
∴当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时,二次函数的最大值为4．