Question

已知函数f（x）=lnx的图象是曲线C，点An(an，f(an))(n∈N*)是曲线C上的一系列点，曲线C在点An（an

Answer 1

解题思路：（1）求导函数，确定曲线C在点A_n（a_n，f（a_n））处的切线方程，令x=0，可得b_n=lna_n-1，利用数列{b_n}是公差为2的等差数列，可得

a

n+1

a

n

＝

e

2

，根据f（a₁）=3，可得a₁=e³，由此即可求得数列的通项；

（2）S_n=[1/2]×b_n×a_n=n×e²ⁿ⁺¹，T_n=1×e³+2×e⁵+…+n×e²ⁿ⁺¹，利用错位相减法即可求和．

（1）求导函数可得f′（x）=[1/x]，则曲线C在点A_n（a_n，f（a_n））处的切线方程为y-lna_n=[1

an（x-a_n）

令x=0，则y-lna_n=-1，∴b_n=lna_n-1

∴b_n+1-b_n=lna_n+1-1-lna_n+1=2

∴

an+1

an＝e2

∵f（a₁）=3，

∴ln（a₁）=3，

∴a₁=e³，

∴a_n=e²ⁿ⁺¹

∴b_n=lna_n-1=2n；

（2）S_n=

1/2]×b_n×a_n=n×e²ⁿ⁺¹

∴T_n=1×e³+2×e⁵+…+n×e²ⁿ⁺¹①

∴e²T_n=1×e⁵+2×e⁷+…+（n-1）×e²ⁿ⁺¹+n×e²ⁿ⁺³②

①-②可得T_n-e²T_n=1×e³+1×e⁵+…+1×e²ⁿ⁺¹-n×e²ⁿ⁺³

∴T_n=

e3−e3+2n

(1−e2)2−

n×e2n+3

1−e2

点评：

本题考点： 数列与函数的综合；数列的求和；等差数列的性质．

考点点评： 本题考查数列与函数的结合，考查数列的通项，考查数列的求和，解题的关键是确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和．