Question

已知函数f(x)=x∧2-2x+a/x,x∈[2,+∞).若对于任意x属于[2,+∞),f(x)>a恒成立,求实数a的取

Answer 1

令F(x)=x^2-2x,G(x)=a-a/x,

则x属于[2,+∞),f(x)>a恒成立等价于x属于[2,+∞),F(x)>G(x)恒成立,

而F(x)=x^2-2x是x>=2时的抛物线的部分,为增函数,F(x)min=F(2)=0

而G(x)=a-a/x是x>=2时的双曲线部分,为增函数,且渐近线为x=0和y=a,

则分为以下情形：

（1）当a>0时,G(x)为增函数,max无限趋近于a,但是永远达不到a,只需F(x)min>G(x)max,即0G(x)恒成立.

（3）当a