Question

已知函数 f(x)= x 2 ax+b (a，b为常数) ，且方程f（x）-1=0有两个实根为x 1 =-2，x 2 =

Answer 1

（1）∵函数 f(x)=

x 2

ax+b (a，b为常数) ，且方程f（x）-1=0有两个实根为x ₁=-2，x ₂=1，

∴将x ₁=-2，x ₂=1分别代入方程

x 2

ax+b -1=0 ，

∴

4

-2a+b -1=0

1

a+b -1=0 ，解得

a=-1

b=2 ，

故 f(x)=

x 2

2-x (x≠2) ；

（2）由（1）可知， f(x)=

x 2

2-x (x≠2) ，

∴不等式 f(x)＜

(k+1)x-k

2-x 即为

x 2

2-x ＜

(k+1)x-k

2-x ，

整理可得，

x 2 -(k+1)x+k

2-x ＜0 ，

即（x-2）（x-1）（x-k）＞0，

①当1＜k＜2时，不等式的解集为（1，k）∪（2，+∞）；

②当k=2时，不等式即为（x-2） ²（x-1）＞0，

∴不等式的解集为（1，2）∪（2，+∞）；

③当k＞2时，不等式的解集为（1，2）∪（k，+∞）．

综合①②③可得，当1＜k＜2时，不等式的解集为（1，k）∪（2，+∞），

当k=2时，不等式的解集为（1，2）∪（2，+∞），

当k＞2时，不等式的解集为（1，2）∪（k，+∞）．