Question

设f（x）=ax2+2bx+c，若5a+4b+c=0，f（-1）•f（1）＜0，数列{an}的前n项和Sn=f（n）．

Answer 1

解题思路：（1）由已知中f（-1）•f（1）＜0，先证明a≠0，再证明方程f（x）=0必有两个不等实根x₁、x₂，进而综合韦达定理及二次不等式的解法，可证得方程f（x）=0必有两个不等实根x₁、x₂，且[4/3]＜x₁+x₂＜4；

（2）若c=0，可得数列{a_n}为等差数列，进而利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质，可证得S_pS_q＜S_n²．

证明：（1）∵f（x）=ax²+2bx+c，f（-1）•f（1）＜0，5a+4b+c=0，

即（a-2b+c）（a+2b+c）=4（2a+3b）（2a+b）＜0

故a≠0

∵f（2）=4a+4b+c=-a，

若a＞0，则函数f（x）图象开口朝上，此时f（2）＜0

若a＜0，则函数f（x）图象开口朝下，此时f（2）＞0

故函数f（x）必有两个零点

即方程f（x）=0必有两个不等实根x₁、x₂，

又由f（-1）•f（1）＜0，即4（2a+3b）（2a+b）＜0得

（[b/a]+2）（3•[b/a]+2）＜0，

∴-2＜[b/a]＜-[2/3]，

∴[4/3]＜x₁+x₂=-2•[b/a]＜4；

（2）∵c=0，

∴S_n=ax²+2bx

∴数列{a_n}为等差数列

又∵p+q=2n，

∴S_pS_q=[1/2]p（a₁+a_p）•[1/2]p（a₁+a_q）

=[1/4]pq•[a₁²+a₁（a_p+a_q）+a_pa_q]

=[1/4]pq•[a₁²+2a₁a_n+a_pa_q]

＜[1/4]（[p+q/2]）²•[a₁²+2a₁a_n+（

ap+aq

2）²]

=[1/4]n²•[a₁²+2a₁a_n+a_n²]

=[[1/2]（a₁+a_n）]²=S_n²．

即S_pS_q＜S_n²．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合；二次函数的性质．

考点点评： 本题考查的知识点是二次函数的性质，二次不等式的解法，等差数列的前n项和公式及等差数列的性质，是函数，不等式，数列的综合应用，难度较大．