已知f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,对任意实数x恒有f(1-x)=f(1+x)成立,方程f(x)=x有两个相等

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  • 解题思路:(1)根据f(1-x)=f(1+x)恒成立,得-[b/2a]=1即b=-2a.由方程f(x)=x有相等的实根,得到方程ax2+(b-1)x=0根的判别式为0.联解可得a=-[1/2]且b=1,得到函数的解析式;

    (2)根据函数f(x)在区间[m,n]上的值域为[3m,3n],得到3n小于或等于函数的在R上的最大值[1/2],从而得到m<n≤[1/6],所以函数f(x)在区间[m,n]上单调递增.由此建立m、n的方程组,解之即可得到存在实数m=-4、n=0,使得函数f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[3m,3n].

    (1)∵f(1-x)=f(1+x),∴f(x)的对称轴为x=1,

    可得-[b/2a]=1即b=-2a.(*)

    ∵f(x)=x有两相等实根,∴ax2+bx=x,即方程ax2+(b-1)x=0有两相等实数根,

    ∴(b-1)2-4×a×0=0,解之得b=1,代入(*)得a=-[1/2],

    ∴函数的解析式为f(x)=-[1/2]x2+x.

    (2)由(1)得f(x)=-[1/2]x2+x=-[1/2](x-1)2+[1/2]≤[1/2],

    若函数f(x)在区间[m,n]上的值域为[3m,3n],可得3n≤[1/2],所以m<n≤[1/6],

    又∵函数的图象是开口向下的抛物线,对称轴为x=1,

    ∴f(x)在区间[m,n]上单调递增,有f(m)=3m且f(n)=3n,

    解之得m=0或m=-4,n=0或n=-4,

    又∵m<n,∴m=-4,n=0.

    即存在实数m=-4、n=0,使得函数f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[3m,3n].

    点评:

    本题考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的定义域及其求法;函数的值域.

    考点点评: 本题给出二次函数含有字母参数,求函数的解析式并讨论函数在区间[m,n]上的值域能否为[3m,3n].着重考查了二次函数的图象与性质、函数解析式的求法和不等式的解法等知识,属于中档题.