Question

已知f（x）是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R有f（ab）=af（b）+bf（a）．

Answer 1

（1）令a=b=0，则f（0）=0；令a=b=1，则f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0…（3分）

（2）∵f（x）的定义域为R，令a=-1，b=x，则f（-x）=-f（x）+xf（-1），

再令a=-1，b=-1，则f（1）=-f（-1）-f（-1）=-2f（-1）=0⇒f（-1）=0，

故f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数…（7分）

（3）当ab≠0时，

f(ab)

ab =

f(a)

a +

f(b)

b

令 g(x)=

f(x)

x ，即f（x）=xg（x），则g（ab）=g（a）+g（b）⇒g（a ⁿ）=ng（a）

故f（a ⁿ）=a ⁿg（a ⁿ）=na ⁿg（a）=na ^n-1•ag（a）=na ^n-1f（a） ⇒

f( a n )

n = a n-1 f(a) ，

故

f( 2 -n )

n =(

1

2 ) n-1 f(

1

2 ) ，∵ f(1)=f(2×

1

2 )=2f(

1

2 )+

1

2 f(2)=2f(

1

2 )+1=0 ，∴ f(

1

2 )=-

1

2 ，

由

f( 2 -n )

n ＞-

1

8 (n∈ N * )⇔ (

1

2 ) n-1 f(

1

2 )＞-

1

8 ⇔ (

1

2 ) n ＜

1

8 ⇔ n＞3

故符合题意的最小正整数n的值为4．…（12分）