解题思路：（1）f′（x）=3x2-2x+a，由f′（1）=1+a=0，解得a=-1．进而结合二次函数的图象和性质，分析导函数在各个区间上的符号，要得f（x）的单调区间；
（2）函数f（x）在区间[α，β]上是单调的，区间[α，β]只能是区间（-∞，-[1/3]]，[-[1/3]，1]，[1，+∞）之一的子区间．分类讨论满足条件的b值，综合讨论结果，可得答案．
（1）∵f（x）=x3-x2+ax+b
∴f′（x）=3x2-2x+a，
由f′（1）=1+a=0，解得a=-1．--------（3分）
∴f′（x）=3x2-2x-1=（x-1）（3x+1），
当x≤-[1/3]时，f′（x）≥0；当-[1/3]≤x≤1时，f′（x）≤0，当x≥1时，f′（x）≥0，；
∴函数f（x）在（-∞，-[1/3]]上单调递增，在[-[1/3]，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．（6分）
（2）∵方程x2-bx+b=0的两个不等实根为α，β，
∴△=b2-4b＞0，b＜0或b＞4（*）
∵函数f（x）在区间[α，β]上是单调的，
∴区间[α，β]只能是区间（-∞，-[1/3]]，[-[1/3]，1]，[1，+∞）之一的子区间．
记g（x）=x2-bx+b，g（x）的对称轴为x=[b/2]，
①若[α，β]⊆（-∞，-[1/3]]，则
b
2≤−
1
3
g(−
1
3)＝
1
9+
4
3b≥0，解得无解；--------（9分）
②若[α，β]⊆[-[1/3]，1]，则
−
1
3≤
b
2≤1
△＝
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数与一元二次方程的综合应用，难度中档．