Question

已知函数f（x）=ax3+2bx2-3x的极值点是x=1和x=-1．

Answer 1

解题思路：（1）求导函数，利用函数f（x）=ax³+2bx²-3x的极值点是x=1和x=-1，建立方程组，即可求得a，b的值；

（2）假设切点坐标，写出切线方程，将点A的坐标代入，即可求得过点A（1，-2）的曲线y=f（x）的切线方程．

（1）求导函数，可得f′（x）=3ax²+4bx-3

∵函数f（x）=ax³+2bx²-3x的极值点是x=1和x=-1．

∴f′（1）=f′（-1）=0

∴

3a+4b−3＝0

3a−4b−3＝0，∴a=1，b=0

此时f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），可知x=1和x=-1是函数f（x）=ax³+2bx²-3x的极值点；

（2）设切点为P（x₀，f（x₀） ），则f′（x₀）=3x₀-3，∴切线方程为y− (x03 −3x0)＝(3x0−3)(x−x0)

即y=3（x₀-1）x+x₀³-3x02

∵点A（1，-2）在切线上，

∴-2=3（x₀-1）+x₀³-3x02

即x₀³-3x02+3x₀-1=0

∴x₀=1，

∴切线方程是y=-2

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义与函数的极值，解题的关键是理解导数的几何意义及极值的含义．