Question

已知函数f（x）=ex-x2的导函数为f′（x），y=f（x）与y=f′（x）在同一直角坐标系下的部分图象如图所示，若方

Answer 1

解题思路：设g（x）=f′（x）-f（a），求出导数，求得g（x）的增区间和减区间，要使满足题意，则需g（a）≥0，g（ln2）＜0，ln2＜a，都成立，设h（a）=2-2ln2-e^a+a²，通过导数，判断单调性，即可得到a的范围．

设g（x）=f′（x）-f（a）=e^x-2x-（e^a-a²），

令g′（x）=e^x-2＞0，则x＞ln2，

所以g（x）在（-∞，ln2）单调递减，

在（ln2，+∞）单调递增，

要使满足题意，

则

g(a)≥0

g(ln2)＜0

ln2＜a⇒

ea−2a−ea+a2≥0−−−(1)

2−2ln2−ea+a2＜0−−(2)

ln2＜a−−−−−−−−−(3)

由（1），（3）可知a≥2

设h（a）=2-2ln2-e^a+a²，h′（a）=-e^a+2a＜0在a≥2恒成立，

所以h（a）=2-2ln2-e^a+a²在[2，+∞）上单调递减，

所以h（a）≤h（2）=6-2ln2-e²＜0

所以（2）对任意的a∈R都成立．

综上所述a≥2．

故答案为：[2，+∞）．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数的运用：求单调性，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．