Question

已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的2倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2

Answer 1

（1）∵椭圆C₁：

x2

a2+

y2

b2=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的2倍，

过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2，

∴

a＝2b

b2

a＝1，解得b=2，a=4，

∴椭圆C₁的标准方程为

x2

16+

y2

4＝1．

（2）由题意知，两条切线的斜率都存在，设点M（x₀，y₀），

切线的斜率为k，则切线方程为y-y₀=k（x-x₀），即kx-y+y₀-kx₀=0，

∴

|k+y0−kx0|

k2+1=1，

∴（x02−2x0）k²+2（1-x₀）y₀k+y₀²-1=0，

记其两根分别为k₁，k₂，

在y-y₀=k（x-x₀）中，

令x=0，得y=y₀-kx₀，∴|PQ|=|（k₁-k₂）x₀|，

∴|PQ|²=x02[(k1+k2)2−4k1k2]

=

4(1−x0)2y02−4(x02−2x0)(y0