函数奇偶性和周期性问题设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭

3个回答

  • 这是一道高考题目的压轴题

    大哥啊,我这可是卷子上的标准答案啊!

    由于f(2-x)= f(2+x),f(7-x)= f(7+x)

    可知f(x)的对称轴为x=2和x=7,

    即f(x)不是奇函数.

    联立

    f(2-x)= f(2+x)

    f(7-x)= f(7+x)

    推得f(4-x)= f(14-x)= f(x)

    即f(x)=f(x+10),T=10

    又 f(1)= f(3)=0 ,而f(7)≠0

    故函数为非奇非偶函数.

    (Ⅱ)f(x)=f(x+10),T=10

    由f(4-x)= f(14-x)= f(x)

    且闭区间[0,7]上只有f(1)= f(3)=0

    得f(11)= f(13)=f(-7)= f(-9)= 0

    即在[-10,0]和[0,10]函数各有两个解

    则方程f(x)=0在闭区间[0,2005]上的根为402个,方程f(x)=0在闭区间[-2005,0]上的根为400个

    得方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数为802个