Question

二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f (0)=1，

Answer 1

(1)设f（x）=ax ²+bx+c，

由f（0）=1得c=1，

故f（x）=ax ²+bx+1，

∵f(x+1)-f(x)=2x，

∴a(x+1) ²+b(x+1)+1-(ax ²+bx+1)=2x，

即2ax+a+b=2x，

所以

，∴

，

∴f(x)=x ²-x+1。

(2)由题意得x ²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，

即x ²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立，

设g(x)=x ²-3x+1-m，其图象的对称轴为直线x=

，

所以g(x)在[-1，1]上递减，

故只需g(1)＞0，即1 ²-3×1+1-m＞0，

解得m＜-1。