Question

已知a为常数，若曲线y=ax2+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是（　　）

Answer 1

解题思路：根据题意，曲线y=ax²+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，转化为f′（x）=1有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．

令y=f（x）═ax²+3x-lnx

由题意，x+y-1=0斜率是-1，则与直线x+y-1=0垂直的切线的斜率是1

∴f′（x）=1有解

∵函数的定义域为{x|x＞0}

∴f′（x）=1有正根

∵f（x）=ax²+3x-lnx

∴f'（x）=2ax+3-[1/x]=1有正根

∴2ax²+2x-1=0有正根

∴2a=[1

x2−

2/x]=(

1

x−1)2−1

∴2a≥-1

∴a≥-[1/2]

故选A．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．