Question

（2014•长葛市三模）设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有xf′（x）＞x2+2

Answer 1

解题思路：根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．

由xf′（x）＞x²+2f（x），（x＜0），

得：x²f′（x）-2xf（x）＜x³，

∵x＜0，

∴x³＜0，

即x²f′（x）-2xf（x）＜0，

设F（x）=

f(x)

x2，

则即[

f(x)

x2]′=

x2f(x)−2xf(x)

x4＜0，

则当x＜0时，得F'（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是减函数，

∴F（x+2014）=

f(x+2014)

(x+2014)2，F（-2）=

f(−2)

(−2)2＝

f(−2)

4，

即不等式4f（x+2014）-（x+2014）²f（-2）＞0等价为F（x+2014）-F（-2）＞0，

∵F（x）在（-∞，0）是减函数，

∴由F（x+2014）＞F（-2）得，x+2014＜-2，

即x＜-2016，

故选C．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．