解题思路：只需证明[∂P/∂y＝
∂Q
∂x]即可证明曲线积分
∫
L
2xydx+f（x，y）dy与路径无关；将
∫
(t，1)
(0，0)
2xydx+f（x，y）dy=
∫
(1，t)
(0，0)
2xydx+f（x，y）dy两边的曲线积分取折线路径，得到关于f（x，y）的表达式．
证明：因为[∂f/∂x]=2x
∂(2xy)
∂y，故曲线积分
∫ L2xydx+f（x，y）dy与路径无关．
因此设f（x，y）=x2+g（y），从而
有
∫(t，1)(0，0)2xydx+f（x，y）dy=
∫t00dx+
∫10[t2+g(y)]dy=t2+
∫10g(y)dy，
而
∫(1，t)(0，0)2xydx+f（x，y）dy=
∫100dx+
∫t0[1+g(y)]dy=t+
∫t0g(y)dy，
由此得t2+
∫10g(y)dy=t+
∫t0g(y)dy对任意t成立，两边对t求导，
于是g（t）=2t-1，即
f（x，y）=x2+g（y）=x2+2y-1．
点评：
本题考点： 平面上曲线积分与路径无关的条件．
考点点评： 此题考查了第二类曲线积分与积分路径无关的等价条件，以及计算第二类曲线积分，是基础知识点的综合．
1年前
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