Question

已知函数f(x)=x²+x-1,α,β是方程f(x）=0的两个根（α＞β）f'(x)是f(x）的导数,设a1=

Answer 1

(1)解析：f(x)=x^2+x-1=0,α=(-1+√5)/2,β=(-1-√5)/2

(2)证明：设a1=1,a(n+1)=an-f(an)÷f"(an)(n=1.2.3...)

a(n+1)=[(an)^2+1]/[2an+1]

设g(x)=(x^2+1)/(2x+1)

令g’(x)=2(x^2+x-1)/(2x+1)^2=0

X1=α>0,x2=β0,∴函数g(x)在x1处取极小值g(α)=α≈0.618

∴当x>α时,函数g(x)单调增

∴当x=n (n∈N+)时,g(x)> α

即对任意的正整数n都有an＞α成立.