Question

已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期为π，其图象的一条对称轴是直线 x= π 8

Answer 1

（ 1）由f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，得

2π

ω =π，即ω=2，（2分）

∴f（x）=2cos（2x+ϕ），

又f（x）图象的一条对称轴是直线x=

π

8 ，有2×

π

8 +φ=kπ，则φ=kπ-

π

4 ，k∈Z，

而-π＜φ＜0，令k=0，得φ=-

π

4 ，（5分）

∴f（x）=2cos（2x-

π

4 ）；（6分）

（ 2）由f（α+

π

8 ）=-

14

25 得2cos[2（α+

π

8 ）-

π

4 ]=2cos2α=-

14

25 ，

∴cos2α=-

7

25 ，（7分）

而α∈（0，π），sinα＞0，cosα＞0，（8分）

∴cos2α=2cos ²α-1=1-2sin ²α=-

7

25 ，

∴cosα=

3

5 ，sinα=

4

5 （10分）

∴f（

α

2 ）=2cos（α-

π

4 ）=

2 （cosα+sinα）=

7

2

5 （12分）